并查集的应用之求解无向图中的连接分量个数-白红宇

一，介绍

本文使用数据结构：并查集来实现求解无向图的连通分量个数。

无向图的连通分量就是：无向图的一个极大连通子图，在极大连通子图中任意两个顶点之间一定存在一条路径。对于连通的无向图而言，只有一个连通分量。

二，构造一个简单的无向图

这里仅演示求解无向图的连通分量，因此需要先构造一个无向图。图由顶点和边组成，并采用图的邻接表形式存储。顶点类和边类的定义如下：

1     private class Vertex{ 2         private Integer vertexLabel; 3         private List
     
       adjEdges;//邻接表 4         public Vertex(Integer vertexLabel) { 5             this.vertexLabel = vertexLabel; 6             adjEdges = new LinkedList
      
       (); 7         } 8     } 9     10     private class Edge{11         private Vertex endVertex;12         public Edge(Vertex v) {13             this.endVertex = v;14         }15     }

然后，再使用一个Map来存储图中的顶点。Map的Key为顶点的标识，Value为Vertex顶点对象。关于如何定义一个图，。

private Map
     
       nondirectedGraph;

三，求解无向图的连通分量的思路

首先需要一个一维数组来存储并查集。这里一维数组的下标表示图的顶点标识，数组元素s[i]有两种表示含义：当数组元素大于0时，表示的是顶点 i 的父结点位置；当数组元素s[i]小于0时，表示的是顶点 i 为根的子树的高度(秩！)。从而将数组的下标与图的顶点一一对应起来。

private int[] s;    private int tree_numbers;//并查集中子树的棵数

求解连通的分量的总体思路如下：

①构造一个图。或者说得先有一个图

②根据图中的每一个顶点，初始化并查集。也就是对于每个顶点，构造一棵只有一个顶点的子树(并查集的子树)。

③对于图中的每一条边，这条边一定关联了两个顶点，检查这两个顶点是否在同一个子集合中，如果不在，则执行union操作将这两个顶点合并到同一个集合中

④当遍历完所有的边之后，并查集中子树的个数即为连通分量的个数

伪代码如下：

CONNECTED-COMPONENTS(G)    for each vertex v belongs to V(G)          do MAKE-SET(v)    for each edge(u,v) belongs to E(G)           do if FIND(u) != FIND(v)                then UNION(u,v)

四，代码分析及实现

关于并查集的理解参考这篇文章：

为方便起见，这里假设顶点的标识从0开始的字符串类型的连续的数字，如 0，1，2，3，4.......

make_set方法初始化并查集

1     private void make_set(Map
     
       graph){2         int size = graph.size();//顶点的个数3         s = new int[size];4         for(Vertex v : graph.values()){5             s[Integer.valueOf(v.vertexLabel)] = -1;//顶点的标识是从0开始连续的数字6         }7         8         tree_numbers = size;//初始时,一共有 |V| 个子树 9     }

s数组是并查集的存储结构，第2行获取图中顶点的个数，构造并查集数组。其中，数组的下标表示图中顶点的标识，数组元素s[i]有两种表示含义：当数组元素大于0时，表示的是顶点 i 的父结点位置；当数组元素s[i]小于0时，表示的是顶点 i 为根的子树的高度(秩！)

由于约定了顶点的标识为0,1,2,3.....故第5行根据图中每个顶点来构造一棵单节点的树。

假设无向图如下：顶点的标识为 0,1,2,3,4,5,6

构造初始并查集后，s数组内容如下：

union操作

1     private void union(int root1, int root2) { 2         if (find(root1) == find(root2)) 3             return; 4         //union中的参数是合并任意两个顶点,但是对于并查集,合并的对象是该顶点所在集合的代表顶点(根顶点) 5         root1 = find(root1);//查找顶点root1所在的子树的根 6         root2 = find(root2);//查找顶点root2所在的子树的根 7          8         if (s[root2] < s[root1])// root2 is deeper 9             s[root1] = root2;10         else {11             if (s[root1] == s[root2])// 一样高12                 s[root1]--;// 合并得到的新的子树高度增1 (以root1作为新的子树的根)13             s[root2] = root1;// root1 is deeper14         }15         tree_numbers--;// 合并后,子树的数目减少116     }

注意第5、6行。union操作的对象应该是子树的树根。因为，union时使用了按秩求并，使用的是子树的根结点的秩。

否则的话，程序将会有bug---求出错误的连通分量个数。

求解连通分量的代码如下：

1 public int connectedComponents(Map
     
       graph) { 2         for (Vertex v : graph.values()) { 3             int startLabel = Integer.valueOf(v.vertexLabel); 4  5             List
      
        edgeList = v.adjEdges; 6             for (Edge e : edgeList) { 7                 Vertex end = e.endVertex;// 获得该边的终点 8                 int endLabel = Integer.valueOf(end.vertexLabel); 9 10                 if (find(startLabel) != find(endLabel))11                     union(startLabel, endLabel);//这两个顶点不在同一个子树中,需要union12             }13         }14         return tree_numbers;15     }

第5行，遍历图中的每一条边。第10行，对该边关联的两个顶点进行判断：这两个顶点是否已经连通了(在同一棵子树中了)

求解连通分量时，对图中的每个顶点和每条边都进行了一次遍历，故算法的时间复杂度为O(V+E)

五，整个完整代码

1 import java.util.LinkedHashMap;  2 import java.util.LinkedList;  3 import java.util.List;  4 import java.util.Map;  5   6 import c9.topo.FileUtil;  7   8 public class ConnectedComponents {  9     private class Vertex { 10         private String vertexLabel; 11         private List
     
       adjEdges;// 邻接表 12  13         public Vertex(String vertexLabel) { 14             this.vertexLabel = vertexLabel; 15             adjEdges = new LinkedList
      
       (); 16         } 17     } 18  19     private class Edge { 20         private Vertex endVertex; 21  22         public Edge(Vertex v) { 23             this.endVertex = v; 24         } 25     } 26  27     private Map
       
         nonDirectedGraph; 28  29     public ConnectedComponents(String graphContent) { 30         nonDirectedGraph = new LinkedHashMap
        
         (); 31  32         buildGraph(graphContent); 33  34         make_set(nonDirectedGraph);// 初始化并查集 35     } 36  37     private void buildGraph(String graphContent){ 38         String[] lines = graphContent.split("\n"); 39          40         String startNodeLabel, endNodeLabel; 41         Vertex startNode, endNode; 42         for(int i = 0; i < lines.length; i++){ 43             if(lines[i].length()==1)//某行只有一个顶点 44             { 45                 startNodeLabel = lines[i]; 46                 nonDirectedGraph.put(startNodeLabel, new Vertex(startNodeLabel)); 47                 continue; 48             } 49             String[] nodesInfo = lines[i].split(","); 50             startNodeLabel = nodesInfo[0]; 51             endNodeLabel = nodesInfo[1]; 52              53             endNode = nonDirectedGraph.get(endNodeLabel); 54             if(endNode == null){ 55                 endNode = new Vertex(endNodeLabel); 56                 nonDirectedGraph.put(endNodeLabel, endNode); 57             } 58              59             startNode = nonDirectedGraph.get(startNodeLabel); 60             if(startNode == null){ 61                 startNode = new Vertex(startNodeLabel); 62                 nonDirectedGraph.put(startNodeLabel, startNode); 63             } 64             Edge e = new Edge(endNode); 65             //对于无向图而言,起点和终点都要添加边 66             endNode.adjEdges.add(e); 67             startNode.adjEdges.add(e); 68         } 69     } 70  71     private int[] s; 72     private int tree_numbers; 73  74     private void make_set(Map
         
           graph) { 75         int size = graph.size(); 76         s = new int[size]; 77         for (Vertex v : graph.values()) { 78             s[Integer.valueOf(v.vertexLabel)] = -1;// 顶点的标识是从0开始连续的数字 79         } 80  81         tree_numbers = size;// 初始时,一共有 |V| 个子树 82     } 83  84     private void union(int root1, int root2) { 85         if (find(root1) == find(root2)) 86             return; 87         //union中的参数是合并任意两个顶点,但是对于并查集,合并的对象是该顶点所在集合的代表顶点(根顶点) 88         root1 = find(root1);//查找顶点root1所在的子树的根 89         root2 = find(root2);//查找顶点root2所在的子树的根 90          91         if (s[root2] < s[root1])// root2 is deeper 92             s[root1] = root2; 93         else { 94             if (s[root1] == s[root2])// 一样高 95                 s[root1]--;// 合并得到的新的子树高度增1 (以root1作为新的子树的根) 96             s[root2] = root1;// root1 is deeper 97         } 98         tree_numbers--;// 合并后,子树的数目减少1 99     }100 101     private int find(int root) {102         if (s[root] < 0)103             return root;104         else105             return s[root] = find(s[root]);106     }107 108     public int connectedComponents(Map
          
            graph) {109 for (Vertex v : graph.values()) {110 int startLabel = Integer.valueOf(v.vertexLabel);111 112 List
           
             edgeList = v.adjEdges;113 for (Edge e : edgeList) {114 Vertex end = e.endVertex;// 获得该边的终点115 int endLabel = Integer.valueOf(end.vertexLabel);116 117 if (find(startLabel) != find(endLabel))118 union(startLabel, endLabel);119 }120 }121 return tree_numbers;122 }123 124 // for test purposes125 public static void main(String[] args) {126 String graphFilePath;127 if (args.length == 0)128 graphFilePath = "F:\\graph.txt";129 else130 graphFilePath = args[0];131 132 String graphContent = FileUtil.read(graphFilePath, null);// 从文件中读取图的数据133 ConnectedComponents cc = new ConnectedComponents(graphContent);134 int count = cc.connectedComponents(cc.nonDirectedGraph);135 System.out.println("连通分量个数:" + count);136 }137 }

FileUtil类中的完整代码实现。

六，测试

文件格式如下：

第一列表示起始顶点的标识，第二列表示终点的标识。若没有边，则一行中只有一个顶点。

生成的图如下：

整个程序运行完成后，并查集数组内容如下：

结果如下：

本文转自hapjin博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5486564.html，如需转载请自行联系原作者